Sejarah Matematika Dalam Islam (part 3)

7.      Banu Musa

 Banu Musa terdiri dari tiga bersaudara yang bekerja di Rumah Kebijaksanaan di Baghdad. Risalah matematika paling terkenal mereka adalah Kitab dari Pengukuran pesawat dan Angka Bulat, yang dianggap masalah yang sama seperti Archimedes lakukan pada Pengukuran Lingkar, pada bola dan silinder. Mereka memberikan kontribusi individual juga. Yang tertua, Jaʿjauh Muhammad khusus dalam geometri dan astronomi. Dia menulis sebuah revisi kritis pada Apollonius 'Conics disebut Aktiva dari kitab conics. Ahmad khusus dalam mekanika dan menulis sebuah karya pada perangkat pneumatik disebut mekanika. Si bungsu al-Hasan khusus dalam geometri dan menulis karya pada.

8.      Al-Mahani

Ada sedikit informasi tentang kehidupan al-Mahani. Kita tahu sedikit tentang pekerjaan al-Mahani di astronomi dari buku astronomi karya Ibn Yunus “al-Zij al-Hakimi al-kabir”. Dalam karya ini Ibnu Yunus mengkutip dari tulisan al-Mahani, yang telah hilang, yang menggambarkan pengamatan al-Mahani yang dibuat antara tahun 853 dan 866. Setidaknya kita telah akurat memahami kehidupan al-Mahani dari sumber ini. Ibn Yunus menulis bahwa al-Mahani mengamati gerhana bulan dan ia menghitung awal mereka dengan astrolabe dan bahwa awal tiga gerhana berturut-turut sekitar setengah jam kemudian bisa dihitung.

The Fihrist (Index) adalah sebuah karya disusun oleh penjual buku Ibnu an-Nadim di tahun 988. Ini memberikan laporan lengkap dari sastra bahasa Arab yang tersedia dalam abad ke-10 dan secara khusus menyebutkan al-Mahani, bukan karena karyanya dalam astronomi, melainkan untuk karyanya dalam geometri dan aritmatika. Namun pekerjaan yang al-Mahani lakukan dimatematika mungkin telah termotivasi oleh berbagai masalah yang bersifat astronomi. Kita tahu bahwa beberapa karya al-Mahani dalam aljabar didorong dengan mencoba memecahkan masalah karena Archimedes. Masalah Archimedes yang berusaha ia pecahkan dengan cara baru adalah pemotongan bola oleh pesawat sehingga dua segmen yang dihasilkan memiliki volume rasio tertentu. Hal itu telah Omar Khayyam berikan gambaran historis penting dari aljabar,yang menempatkan pekerjaan al-Mahani ke dalam konteks.

Omar Khayyam menulis: Al-Mahani adalah salah satu penulis modern yang dikandung gagasan pemecahan teorema bantu yang digunakan oleh Archimedes dalam proposisi keempat buku kedua dari risalah tentang bola dan silinder aljabar. Namun, ia menyebabkan persamaan yang melibatkan kubus, kotak dan bilangan yang iagagal selesaikan setelah melewati perenungan yang panjang. Oleh karena itu, solusi ini dinyatakan tidak mungkin sampai munculnya Ja'far al-Khazin yang memecahkan persamaan dengan bantuan bagian kerucut. Omar Khayyam cukup tepat untuk menilai pekerjaan ini dengan tinggi. Akan terlalu mudah untuk mengatakan bahwa sejak al-Mahani telah mengusulkan suatu metode solusi yang dia tidak bisa laksanakan maka karyanya memiliki nilai yang kecil.

Namun seperti Omar Khayyam sangat menyadari, tidak begitu sama sekali dan kenyataan bahwa al-Mahani mengandung ide mengurangi masalah seperti menduplikasi kubus untuk masalah dalam aljabar yang merupakan langkah penting ke depan. Sejumlah karya al-Mahani yang selamat, adalah komentar-komentar tertentu yang ia tulis pada bagian Elemen Euclid. Dalam karya khusus tentang rasio-rasio dan tidak rasional yang terkandung dalam komentar dia memberikan Buku V dan X dari Elemen bertahan hidup seperti halnya usahanya untuk memperjelas bagian-bagian sulit dari Buku XIII. Ia juga menulis sebuah karya yang memberikan mereka 26 proposisi di Buku I yang dapat dibuktikan tanpamenggunakan argumen reductio ad absurdum namun pekerjaan ini telah hilang. Yang juga hilang adalah karyanya yang mencoba untuk meningkatkan deskripsi yang diberikan oleh Menelaus di Spherics nya.

9.      Al-Khazin

 Abu Ja'far Al-Khazin  adalah salah satu ilmuwan yang dibawa ke istana Rayy oleh penguasa dinasti Buyid, Adud ad-Dawlah, yang memerintah pada tahun 949-983.

Sekitar tahun 959 - 960 al-Khazin diminta oleh wazir dari Rayy, untuk mengukur arah miring ekliptika atau sudut di mana matahari muncul untuk membuat garis khatulistiwa bumi. Dia dikatakan telah membuat pengukuran menggunakan cincin sekitar 4 meter. Salah satu dari karya-karya al-Khazin Zij al-Safa'ih (Tabel cakram dari astrolabe) digambarkan oleh para penerusnya sebagai karya terbaik di bidang ini dan mereka membuat banyak referensi untuk itu. Pekerjaan ini menjelaskan beberapa instrumen astronomi, khususnya menggambarkan sebuah astro label dilengkapi dengan pelat bertuliskan tabel dan komentar tentang penggunaannya. Salinan instrumen ini dibuat tetapi menghilang di Jerman padawaktu Perang Dunia II.

Al-Khazin menulis komentar tentang Ptolemy's Almagest yang dikritik oleh al-Biruni karena terlalu verbose. Hanya satu fragmen dari komentar ini yang bertahan dan terjemahan itu. Fragmen yang telah bertahan berisi diskusi oleh al-Khazin dari argumen Ptolemeus bahwa alam semesta adalah bulat. Ptolemeus menulis dari angka yang berbeda dari keliling yang sama, satu dengan sudut lebih besar kapasitasnya, dan oleh karena itu perlu bahwa lingkaran adalah yang terbesar permukaannya yaitu semua angka dengan perimeter konstan dan bulatan padat yang terbesar. Al-Khazin memberikan 19 proposisi yang berkaitan dengan pernyataan Ptolemy. Hasil yang paling menarik menunjukkan, dengan bukti yang sangat cerdas, bahwa sebuah segitiga sama sisi memiliki luas lebih besar daripadasegitiga sama kaki atau sisi tak sama panjang dengan perimeter yang sama. Ketika ia mencoba untuk menggeneralisasi hasil ini untuk poligon, bagaimanapun, al-Khazin memberikan bukti yang salah. Hasil lain di antara 19 didasarkan pada dalil yang diberikan oleh Archimedes dalam lingkaran dan silinder.

Karya yang dijelaskan al-Khazin tampaknya telah memotivasi matematikawan lain yang bernama al-Khujandi. Al-Khujandi mengklaim telah membuktikan bahwa x³+y³=z³ adalah mustahil untuk bilangan bulat x, y, z yang tentu saja dengan n = 3 pada kasus Teorema Terakhir Fermat. Dalam surat al-Khazin menulis ”Aku menunjukkan sebelumnya bahwa apa yang Abu Muhammad al-Khujandi jelaskan  semoga Allah kasihanilah dia” dalam demonstrasinya bahwa jumlah dari dua bilangan kubik tidak kubus adalah rusak dan tidak benar. Hal ini tampaknya telah memotivasi korespondensi lebih lanjut tentang teori bilangan antara al-Khazin dan matematikawan Arab lainnya. Hasil oleh al-Khazin di sini memang menarik. Hasil utamanya adalah untuk menunjukkan bagaimana, jika kita diberi bilangan, untuk menemukan sejumlah kuadrat sehingga jika angka yang diberikan ditambahkan ke atau dikurangkan dari itu hasilnya akan kuadrat. Dalam notasi modern masalah ini diberi bilangan asli, menemukan bilangan asli x, y, z sehingga x² + a = y² dan  Al-Khazin membuktikan bahwa keberadaan x, y, z dengan sifat-sifat ini adalah setara dengan keberadaan bilangan asli u, v dengan a = 2 uv, dan adalah sebuah kuadratik (faktanya ). Contoh terkecil yang memuaskan kondisi-kondisi ini adalah 24 yang al-Khazin memberikan 5² + 24 = 7², 5² - 24 = 1². Dia juga memberikan a = 96 dengan 10²+ 96 = 14², 10² - 96 = 2² walaupun, agak aneh, ia tampaknya mengurangi hal ini dengan pernyataannya yang lain. Rashed menyarankan ini mungkin karena 96 = 2 × 48 = 2 × 6 × 8 dan 62 + 82 = 102 adalah bukan triple Pythagoras primitif. Rashed telah menemukan sebuah naskah yang tampaknya oleh al-Khazin, namun berisi persis apa yang telah dikaitkan dengan al-Khujandi.

Walaupun al-Khazin bisa menyadari kesalahan dalam bukti al-Khujandi dan mencoba bukti dirinya sendiri yang dia yakini benar, tidak ada penjelasan yang benar-benar memuaskan dari fakta-fakta ini. Akhirnya menyebutkan bahwa al-Khazin mengusulkan model tata surya yang berbeda dari Ptolemy. Ptolemy mengatakan bahwa matahari bergerak dalam gerak melingkar seragam terhadap pusat yang tidak bumi. Al-Khazin tidak senang dengan model ini karena ia mengklaim bahwa jika memang demikian maka jelas diameter matahari akan bervariasi sepanjang tahun dan observasi menunjukkan bahwa ini tidak terjadi. Tentu saja diameter nyata dari matahari bervariasi tetapi dengan jumlah yang terlalu kecil untuk diamati oleh al-Khazin. Untuk mendapatkan putaran masalah ini, al-Khazin mengusulkan model di mana matahari bergerak dalam lingkaran yang berpusat di bumi, tetapi gerakannya tidak seragam terhadap pusat, melainkan adalah seragam tentang titik lain (disebut excentre)

10. Al-Karaji

 Abu Bakar bin Muhammad bin Al Husain al-Karaji atau al-Karkhi (953 di Karajatau Karkh - 1029) adalah seorang matematikawan muslim Persia abad ke-10 dan insinyur. Penulis kitab bertajuk Al-Kafi fi Al-Hisab (Pokok-pokok Aritmatika). Tiga karya utamanya adalah:

1.      Al-Badi' fi'l-hisab (perhitungan yang indah)

2.      Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala (aljabar yang agung)

3.      Al-Kafi fi'l- hisab (perhitungan yang memadai)

Karena karya asli al-Karaji dalam bahasa Arab hilang, belum diketahui secara pasti apa nama pastinya.

Al-Karkhi, menunjukkan bahwa ia lahir di Karkh, pinggiran kota Baghdad, atau al-Karaji menunjukkan keluarganya berasal dari kota Karaj. Dia memang tinggal dan bekerja untuk sebagian besar hidupnya di Baghdad, yang merupakan pusat ilmiah dan perdagangan dunia Islam. Al-Karaji menulis tentang matematika dan teknik.

Beberapa menganggap diahanya ulang ide-ide orang lain ia dipengaruhi oleh Diophantus tetapi kebanyakan menganggapnya lebih orisinil, khususnya untuk membebaskan aljabar dari geometri. Dia secara sistematis mempelajari aljabar eksponen, dan adalah yang pertama untuk menyadari bahwa urutan  dapat diperpanjang tanpa batas waktu, dan reciprocals ,… Namun, karena misalnya produk persegi dan kubus akan dinyatakan, dalam kata-kata daripada angka, sebagai kubus-persegi, sifat-sifat bilangan dari menambahkan eksponen menjadi tidak jelas.

Dia menggunakan bentuk induksi dalam karyanya yang sekarang hilang danhanya diketahui dari kutipan berikutnya oleh al-Samaw'al, ia menulis pada teorema binomial dan segitiga Pascal. Karyanya pada aljabar dan polinomial, memberikan aturan untuk operasi aritmatika untuk menambahkan, mengurangi dan mengalikan polinomial, meskipun ia dibatasi untuk membagi polinomial oleh monomials.

Al-Karaji memperkenalkan ide argumen dengan induksi matematika. Sepertikata Katz: Gagasan lain yang penting yang diperkenalkan oleh al-Karaji dan dilanjutkan oleh al-Samaw'al dan lain-lain adalah suatu argumen induktif untuk menangani dengan urutan aritmatika tertentu. Dengan demikian al-Karaji menggunakan argumen untuk membuktikan hasil pada jumlah integral pangkat tiga yang sudah dikenalkan Arya bhata. Al-Karaji tidak pernah, bagaimanapun, menyatakan hasil umum untuk peubah n. Dia menyatakan teoremanya untuk bilangan bulat tertentu 10. Buktinya, bagaimanapun, jelas dirancang untuk menjadi diperpanjang ke integer lain. Argumen Al-Karaji ini termasuk pada intinya dua komponen dasar dari sebuah argumen modern oleh induksi, yaitukebenaran pernyataan tersebut untuk n= 1 (1 = 13) dan berasal dari kebenaran untuk n=k dari  n= k-1. Tentu saja, komponen kedua tidak eksplisit karena, dalam arti tertentu, argumen al-Karaji, ia mulai dari n = 10 dan turun ke 1daripada melanjutkan ke atas.

Namun demikian, argumennya dalam al-Fakhri  adalah bukti paling awal yang masih ada tentang rumus jumlah untuk integralpangat tiga. Woepcke adalah sejarawan pertama yang menyadari pentingnya kerja al-Karaji dan kemudian sebagian besar sejarawan setuju dengan penafsiran nya. Ia menggambarkan sebagai penampilan pertama dari teori kalkulus aljabar. Rashed setuju dengan penafsiran Woepcke dan mungkin bahkan melangkah lebih jauh dalam menekankan pentingnya al-Karaji's. Dia menulis tujuanyang lebih atau kurang eksplisit eksposisi Al-Karaji itu adalah untuk mencari cara mewujudkan otonomi dan kekhususan aljabar, sehingga berada dalam posisi untuk menolak, khususnya, representasi geometrik operasi aljabar.

Untuk memberikan kutipan dari deskripsi Rashed tentang kontribusi al-Karaji:karya Al-Karaji memegang tempat penting dalam sejarah matematika penemuan dan pembacaan karya aritmatika dari Diophantus, dalam konsepsi yang jelas dan metode aljabar al-Khawarizmi dan algebraists Arab lainnya, dimungkinkan sebuah keberangkatan baru dalam aljabar oleh Al-Karaji Jadi apa yang ini keberangkatan baru dalam aljabar? Mungkin paling tepat digambarkan oleh al-Samawal, salah satu penerus al-Karaji, yang menggambarkannya sebagai beroperasi pada penggunakan semua alat aritmatika yang tidak diketahui, dengan cara yang sama sebagai ahli aritmetika beroperasi pada yang diketahui.

Apa yang al-Karaji capai di Al-Fakhri pertama kali untuk menentukan monomials x, x², x³, ... dan , ... dan memberikan aturan untuk produk setiap dua dari ini. Jadi apa yang dicapai di sini adalah mendefinisikan produk dari istilah-istilah ini tanpa ada referensi ke geometri. Bahkan ia hampir saja memberikan rumus xⁿ. x^m = x^m+n untuk semua bilangan bulat n dan m tapi ia gagal membuat definisi x⁰= 1 sehingga ia hanya memberikan keterangan singkat.

Setelah aturan yang diberikan untuk perkalian dan pembagian monomials al-Karaji lalu memandang "jumlah komposit" atau jumlah dari monomials. Untuk ini ia memberikan aturan untuk penambahan, pengurangan dan perkalian tetapi tidak untuk pembagian dalam kasus umum, hanya memberikan aturan untuk pembagian kuantitas komposit dengan sebuah monomial. Dia mampu memberikan aturan untuk mencari akar kuadrat dari kuantitas komposit yang tidak sepenuhnya umum karena diperlukan koefisien untuk menjadi positif, tetapi masih merupakan pencapaian yang luar biasa.

Al-Karaji juga menggunakan bentuk induksi matematika dalam argumennya, meskipun ia tentu saja tidak memberikan penjelasan ketat yang prinsip. Pada dasarnya apa yang al-Karaji lakukan ini adalah untuk menunjukkan argumen untuk n= 1, kemudian membuktikan kasus n= 2 berdasarkan hasil nya untuk n = 1, kemudian membuktikan kasus n= 3 berdasarkan hasil nya untuk n= 2,dan membawa ke sekitar n = 5 sebelum berkomentar bahwa seseorang dapat melanjutkan proses tanpa batas.

Meskipun ini bukan induksi yang tepat, ini adalah langkah besar menuju pemahaman bukti induktif. Salah satu hasil yang al-Karaji gunakan bentuk induksi berasal dari karyanyatentang teorema binomial, koefisien binomial dan segitiga Pascal. Dalam Al- Fakhri al-Karaji menghitung (a+b)³ dan di Al-Badi ia menghitung (a-b)³ dan (a+b)⁴

Pembangunan umum dari segitiga Pascal diberikan oleh al-Karaji dalam karyanya yang dijelaskan dalam tulisan-tulisan al-Samawal. Dalam terjemahan oleh Rashed dan Ahmad al-Samawal menulis: Mari kita ingat prinsip untuk mengetahui jumlah yang diperlukan dalam perkalian dari derajat satu sama lain,untuk setiap bilangan dibagi menjadi dua bagian. Al-Karaji mengatakan bahwa untuk menggantikan kita harus menempatkan 'satu' di atas meja dan 'satu' dibawah 'satu' yang pertama, bergerak 'satu' yang pertama ke kolom kedua, tambahkan 'satu' yang pertama untuk satu ''di bawah ini. Dengan demikian kita memperoleh 'dua', kita menaruh di bawah 'satu' ditransfer dan kami tempat 'satu' yang kedua di bawah 'dua'. Kami memiliki 'satu' itu, 'dua', dan 'satu'. Untuk melihat bagaimana kolom kedua dari 1,2,1 sesuai dengan mengkuadratkan a + b al-Samawal terus untuk menggambarkan penulisan karya Al-Karaji: Hal ini menunjukkan bahwa untuk setiap nomor terdiri dari dua angka, jika kita masing-masing beberapa dari mereka dengan sendirinya sekali- karena dua ekstrem adalah 'satu' dan 'satu' - dan jika kita kalikan masing-masing satu oleh yang lain dua kali - karena jangka menengah adalah 'dua' -kita memperoleh kuadrat dari nomor ini.

Ini adalah deskripsi indah dari teorema binomial menggunakan segitiga Pascal. Deskripsi berlanjut hingga koefisien binomial yang memberikan (a+b)⁵ tetapi kita hanya akan mengutip bagaimana al-Karaji konstruksi kolom ketiga dari kedua  Jika kita transfer 'satu' di kolom kedua menjadi kolom ketiga, kemudian tambahkan 'satu' dari kolom kedua untuk 'dua' di bawah ini, kita memperoleh 'tiga' yang akan ditulis di bawah 'satu' pada kolom ketiga. Jika kita kemudian tambahkan 'dua' dari kolom kedua untuk''satu 'di bawah ini kita memiliki' tiga'yang ditulis di bawah' tiga ', maka kita menulis' satu 'di bawah ini' tiga '; kami sehingga mendapatkan kolom ketiga yang jumlahnya adalah 'satu', 'tiga', 'tiga',dan 'satu' Hasil lain yang diperoleh oleh al-Karaji termasuk menjumlahkan n pertama bilangan asli, kuadrat n bilangan asli pertama dan pangkat angka-angka ini. Dia membuktikan bahwa jumlah bilangan asli n pertama ½ n(n+ 1). Dia juga memberikan (dalam terjemahan Rashed dan Ahmad):Dalam notasi modern; ∑i² = ∑i + ∑i (i - 1).

Al-Karaji juga mempertimbangkan jumlah dari pangkat tiga dari n bilangan asli pertama menulis (dalam terjemahan Rashed dan Ahmad): Jika kita ingin menambahkan pangkat tiga dari bilangan yang mengikuti satu sama lain mereka kita kalikan jumlah mereka dengan dirinya sendirinya.Dalam notasi modern ∑ i³= (∑ i)². Al-Karaji menunjukkan bahwa (1 + 2 + 3 + ... + 10)² sama dengan 1³+ 2³+ 3³ + ... + 10³. Dia telah melakukan ini dengan memperlihatkan terlebih dahulu bahwa (1 + 2 + 3 + ... + 10)² = (1 + 2 + 3 + ... + 9)²+ 10³. Dia sekarang bisa menggunakan aturan yang sama pada (1 + 2 + 3 + ... + 9)², kemudian pada (1+ 2 + 3 + ... + 8)² dst. Untuk mendapatkan( 1 + 2 + ... + 10)² = (1 + 2 + 3 + ... + 8)² + 9³+ 10³= (1 + 2 + 3 + ... + 7)² + 8³+ 9³+ 10³ = 1³+ 2³+3³+ ... + 10³.

Akhirnya kita harus menyebutkan pengaruh Diophantus pada al-Karaji. Lima kitab pertama Diophantus's Arithmetica telah diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh ibn Liqa pada sekitar tahun 870 dan ini dipelajari oleh al-Karaji. Woepcke dalam pengantar untuk Al-Fakhri menulis bahwa dia menemukan lebih dari sepertiga masalah buku pertama dari Diophantus, masalah buku kedua dimulai dengan kedelapan, dan hampir semua masalah buku ketigadimasukkan oleh al-Karaji di koleksinya.Al-Karaji juga menemukan banyak masalah barunya sendiri tapi bahkan orang-orang Diophantus pasti tidak hanya diambil tanpa pengembangan lebih lanjut.Dia selalu berusaha menggeneralisasi hasil Diophantus dan untuk menemukanmetode lebih umum yang berlaku.


Sumber : Di Sini